インターネットのドメイン名も、商標登録しておいたほうがいいですか？

　ケースバイケースだと思います。
　ドメイン名はインターネット上の住所とよべるものであり、同一の表示は２つとないものです。
　また、ドメイン名についての争いについては、商標法ではなく、不正競争防止法などの他の法律で争うこととなります。
　現実上「豊島区東池袋1-25-8」といった名称を商標登録しないように、通常の使用の範囲内であればドメイン名に商標登録の必要はないかと思います。
　しかし、ドメイン名は営業的（サービスを指称するため）に使用する場合があり、その場合は「商標の使用」に該当するケースもあります。そのため、ドメイン名をどのように使うかによって、商標登録の必要性は変わるものと思われます。

　このような場合における商標登録の必要性は、商標戦略を含めての費用対効果についての検討が必要かと思いますので、弁理士などの専門家とよくよく相談されてから判断されることをお勧めします。